Los enteros positivos o números naturales 1, 2, 3, . . . son
símbolos abstractos para indicar "cuántos" objetos hay en una
colección o conjunto de elementos discretos.
Estos símbolos están despojados de toda referencia a las
cualidades concretas de los objetos contados, ya sea que se trate de personas,
átomos, casas o cualesquiera objetos.
Los números naturales son el instrumento adecuado para
contar elementos de una colección o "conjunto". Sin embargo, no
bastan para otro objetivo igualmente importante: medir cantidades tales como la
longitud de una curva y el volumen o peso de un cuerpo. La pregunta
"¿cuánto?" no puede ser contestada inmediatamente en términos de los
números naturales. La profunda necesidad de expresar medidas de cantidades en
términos de lo que nosotros quisiéramos llamar números nos obliga a extender el
concepto de número de manera que podamos describir una graduación continua de
las medidas. Esta extensión es llamada el continuo de números o el sistema de
"números reales" (un nombre no descriptivo pero aceptado
generalmente). La extensión del concepto de número al de continuo es de tal
manera convincente que fue utilizada por todos los grandes matemáticos y
científicos de épocas anteriores sin hacer preguntas escudriñadoras. No fue
sino hasta el siglo XIX que los matemáticos se vieron impulsados a buscar un
fundamento lógico más firme para el sistema de los números reales. La
subsiguiente formulación precisa de estos conceptos condujo, a su vez, a un
progreso mayor en matemáticas.
Fuente: Introducción al cálculo y al análisis matemático
