El análisis es una rama de la ciencia matemática que estudia
los números reales, los complejos y construcciones derivadas a partir de ellos
así como las funciones entre esos conjuntos y construcciones derivadas. Se
empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulación rigurosa del
cálculo y estudia conceptos como la continuidad, la integración y la
diferenciabilidad de diversas formas.
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| El estudio del conjunto de Mandelbrot que es un objeto fractal con autosimilaridad estadística involucra diversas áreas del análisis matemático, el análisis de la convergencia, la teoría de la medida, la geometría y la teoría de la probabilidad y la estadística. |
Historia
Matemáticos griegos como Eudoxo de Cnidos y Arquímedes
hicieron un uso informal de los conceptos de límite y convergencia cuando
usaron el método exhaustivo para calcular el área y volumen de regiones y
sólidos. De hecho, el número π fue aproximado usando el método exhaustivo. En
la India del siglo XII el matemático Bhaskara concibió elementos del cálculo
diferencial, así como el concepto de lo que ahora conocemos como el Teorema de
Rolle.
En el siglo XIV, el análisis matemático se origina con
Madhava, en el Sur de Asia, quien desarrolló ideas fundamentales como la
expansión de series infinitas, las series de potencias, series de Taylor, y la
aproximación racional de series infinitas. Además desarrolló las series de
Taylor de funciones trigonométricas —seno, coseno, tangente—, y estimó la
magnitud de los errores de cálculo truncando estas series. También desarrolló
fracciones continuas infinitas, integración término a término, y las serie de potencias
de pi. Sus discípulos de la Escuela de Kerala continuaron su trabajo hasta el
siglo XVI.
El análisis en Europa se origina en el siglo siglo XVII, en
el que Newton y Leibniz inventan el cálculo. Ahora sabemos que Newton
desarrolló el cálculo infinitesimal unos diez años antes que Leibnitz. Este
último lo hizo en 1675 y publicó su obra en 1684, aproximadamente veinte años
antes de que Newton se decidiera a hacer lo propio con sus trabajos. Newton
había comunicado la novedad solamente a algunos pocos colegas suyos y de nada
valieron las instigaciones de Halley para que Newton publicara sus trabajos más
tempranamente. Esta actitud sirvió de base para crear una desagradable
controversia por el padrinazgo de la idea; discusión que podría haber sido evitada
si otro gran matemático, Fermat, no hubiera tenido también la inexplicable
costumbre de no hacer públicos sus trabajos. En una carta de Fermat a Roberval,
fechada el 22 de octubre de 1636, se hallan claramente descritos tanto la
geometría analítica como el análisis matemático. En dicho siglo y en el siglo
XVIII, ciertos temas sobre el análisis como el cálculo de variaciones, las
ecuaciones diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales, el análisis de
Fourier y las funciones generadoras fueron desarrolladas principalmente para un
trabajo de aplicación. Las técnicas del Cálculo fueron aplicadas con éxito en
la aproximación de problemas discretos mediante los continuos.
A todo lo largo del siglo XVIII la definición del concepto
de función estuvo sujeta a debate entre los matemáticos. En el siglo XIX,
Cauchy fue el primero que estableció el cálculo sobre unos firmes fundamentos
lógicos mediante el uso del concepto de sucesión de Cauchy. También inició la
teoría formal del Análisis complejo. Poisson, Liouville, Fourier y otros,
estudiaron ecuaciones en derivadas parciales y el Análisis armónico.
Mediado dicho siglo, Riemann introduce su teoría de la
integración. En el último tercio del siglo XIX Weierstrass lleva a la
aritmetización del análisis, ya que pensaba que el razonamiento geométrico era
engañoso por naturaleza, e introduce la definición ε-δ de límite. Entonces los
matemáticos empezaron a preguntarse si no estarían asumiendo la existencia de
cierto continuo de números reales sin probar su existencia. Dedekind entonces
construye los números reales mediante las cortaduras de Dedekind. Sobre la
misma época, los intentos de refinar los teoremas de integración de Riemann
llevaron hacia el estudio del «tamaño» de los conjuntos de discontinuidad de
funciones reales.
También, funciones «monstruos» (funciones continuas en
ninguna parte, funciones continuas pero no diferenciables en ningún punto,
Curva que llena el espacio, Curva de Peano) comenzaron a surgir. En este
contexto Jordan desarrolló su teoría de medida, Cantor lo hizo con lo que ahora
se llama teoría de conjuntos, y Baire prueba el Teorema de la categoría de
Baire. A principios del siglo XX, el cálculo se formaliza usando la teoría de
conjuntos. Lebesgue resuelve el problema de la medida, y Hilbert introduce los
espacios de Hilbert para resolver ecuaciones integrales. La idea de espacios
vectoriales normados estuvo en ciernes, y en los años 1920 Banach crea el
Análisis funcional.
Subdivisiones
El análisis matemático incluye los siguientes campos:
Análisis real, esto es, el estudio formalmente riguroso de
las derivadas e integrales de las funciones real-valuadas, lo que incluye el
estudio de límites, y series.
Teoría de la medida, que generaliza en concepto de cálculo
integral y de medida.
Geometría diferencial, que exitiende los métodos del
análisis real sobre espacios euclídeos a espacios topológicos más generales.
Análisis numérico encarga de diseñar algoritmos para, a
través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos
más complejos aplicados a procesos del mundo real.
Análisis no real, que extiende el análsis real a cuerpos
diferentes de los números reales.
Análisis complejo, que estudia funciones que van del plano
complejo hacia sí mismo y que son complejo-diferenciables, las funciones
holomorfas.
Análisis p-ádico, el análisis en el contexto de los números
p-ádicos, que difiere de forma interesante y sorprendente de su homólogo real y
complejo.
Análisis no-estándar, que investiga ciertos números
hiperreales y sus funciones y da un tratamiento riguroso de los números
infinitesimales y los infinitamente grandes.
