En la
matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar
una tercera tal que las primeras dos sean múltiplos de la última, es decir, es
posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudes tengan una
medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de
enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser
conmensurables.
Sin
embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir
la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues no
es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, un triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide :
Si 
es un número racional donde
está reducido a sus términos mínimos (sin
factor común) entonces 2q²=p².
es un número racional donde está reducido a sus términos mínimos (sin
factor común) entonces 2q²=p².
La
expresión anterior indica que p² es un número par y por tanto p también, es
decir, p=2m. Sustituyendo obtenemos 2q²=(2m)²=4m², y por tanto q²=2m².
Pero el
mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un número par, esto es,
q=2n. Mas esto es imposible, puesto que p y q no tienen factores comunes (y
hemos encontrado que 2 es un factor de ambos).
Por
tanto, la suposición misma de que es un
número racional debe ser falsa.
es un
número racional debe ser falsa.
Surgió
entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era
racional, mas la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles no era
conmensurable con los catetos, lo cual implicó que en adelante las magnitudes
geométricas y las cantidades numéricas tendrían que tratarse por separado,
hecho que tuvo consecuencias en el desarrollo de la matemática durante los dos
milenios siguientes.
Los
griegos desarrollaron una geometría basada en comparaciones (proporciones) de
segmentos sin hacer referencia a valores numéricos, usando diversas teorías
para manejar el caso de medidas inconmesurables, como la teoría de proporciones
de Eudoxo. Así, los números irracionales permanecieron a partir de entonces
excluidos de la aritmética puesto que sólo podían ser tratados mediante el
método de infinitas aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricos encontraron
(en notación moderna) que si a/b es una aproximación a entonces p=a+2b y q=a+b son tales que p/q es
una aproximación más precisa. Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen
mayores números que dan una mejor aproximación. Dado que las longitudes que
expresan los números irracionales podían ser obtenidas mediante procesos
geométricos sencillos pero, aritméticamente, sólo mediante procesos de infinitas
aproximaciones, originó que durante 2000 años la teoría de los números reales
fuese esencialmente geométrica, identificando los números reales con los puntos
de una línea recta.
entonces p=a+2b y q=a+b son tales que p/q es
una aproximación más precisa. Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen
mayores números que dan una mejor aproximación. Dado que las longitudes que
expresan los números irracionales podían ser obtenidas mediante procesos
geométricos sencillos pero, aritméticamente, sólo mediante procesos de infinitas
aproximaciones, originó que durante 2000 años la teoría de los números reales
fuese esencialmente geométrica, identificando los números reales con los puntos
de una línea recta.
Nuevos
avances en el concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII,
con el desarrollo de la notación algebraica, lo que permitió la manipulación y
operación de cantidades sin hacer referencia a segmentos y longitudes. Por
ejemplo, se encontraron fórmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer
grado de forma mecánica mediante algoritmos, los cuales incluían raíces e
incluso, en ocasiones, «números no reales» (lo que ahora conocemos como números
complejos). Sin embargo, no existía aún un concepto formal de número y se
seguía dando primacía a la geometría como fundamento de toda la matemática.
Incluso con el desarrollo de la geometría analítica este punto de vista se
mantenía vigente, pues Descartes rechazaba la idea que la geometría pudiera
fundamentarse en números, puesto que para él la nueva área era simplemente una
herramienta para resolver problemas geométricos.
Posteriormente,
la invención del cálculo abrió un período de grandes avances matemáticos, con
nuevos y poderosos métodos que permitieron por vez primera atacar los problemas
relacionados con lo infinito mediante el concepto de límite. Así, un número
irracional pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de números
racionales (por ejemplo, su expansión decimal). Como muestra, el número π puede
estudiarse de forma algebraica (sin apelar a la intuición geométrica) mediante
la serie:
entre
muchas otras expresiones similares.
Para
entonces, el concepto intuitivo de número real era ya el moderno, identificando
sin problema un segmento con la medida de su longitud (racional o no). El
cálculo abrió el paso al análisis matemático, que estudia conceptos como
continuidad, convergencia, etc. Pero el análisis no contaba con definiciones
rigurosas y muchas de las demostraciones apelaban aún a la intuición
geométrica. Esto conllevó a una serie de paradojas e imprecisiones.
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